Cette Faq a pour objectif de répondre de manière concrète et pratique à toutes les questions que l'on peut se poser sur Maxima et son utilisation. La dernière version de cette faq est téléchargeable à l'adresse :

Certaines réponses sont extraites de la liste internationale de Maxima dont nous remercions tous les participants.

Table des matières

1Maxima

1.1Le statut de Maxima

1.1.1Maxima est-il gratuit ?

Totalement. Le code de Maxima est en open source. Vous avez droit de le copier, de le modifier, de le distribuer librement. Vous pouvez intaller le logiciel sur autant de postes que vous le désirez.

1.1.2Maxima est-il performant ?

Tout à fait. Le code de Maxima existe depuis plus de 15 ans. Maxima est utilisé avec succès pour résoudre de nombreux problèmes mathématiques.

1.1.3Quelles différences avec des logiciels commerciaux comme Maple ou Mathematica ?

L'interface de Maxima n'est pas très performante. Les logiciels commerciaux proposent une interface beaucoup plus ergonomique. Cependant, au niveau mathématique, Maxima n'a rien à envier aux logiciels commerciaux. Signalons que l'usage de Maxima avec TeXmacs ou WxMaxima permet d'obtenir une interface moderne et wysiwyg.

1.1.4Qui est l'auteur de Maxima ?

Les informaticiens du département de l'Energie américain ont élaboré le premier code source. Ce code fut d'abord vendu à une société privée qui l'a développé afin de commercialiser le logiciel Macsygma. Le docteur William Schelter a ensuite obtenu l'autorisation d'exploiter le code du logiciel original, qui fut mis en open source sous le nom de Maxima. Le docteur Schelter l'a maintenu et amélioré durant une quinzaine d'année. A sa mort prématurée en 2001, le développement du logiciel a été repris par une équipe de développeurs bénévoles.

1.1.5Quelle est la différence entre Macsygma et Maxima

Macsygma est un logiciel commercial dont le code source reposait sur le noyau de Maxima. Ce logiciel n'est plus commercialisé. La version en open source s'appelle Maxima.

1.1.6Quel est le site de Maxima

Le site officiel est désormais hébergé par Sourceforge à l'adresse :

1.2

Les versions de Maxima

1.2.1Quelle est la dernière version de Maxima ?

La dernière version stable est la 5.9.12.

1.2.2Les différentes versions sont-elles compatibles ?

ATTENTION : depuis la version 5.9.2, Maxima différentie les majuscules et les minuscules, à la fois dans le nom des fonctions et dans les variables. Cela implique que certains programmes ou scripts sont à adapter.

1.2.3Quelles sont les plate-formes supportées par Maxima

Maxima existe en version Linux et Windows. Il existe aussi une version pour Windows CE.

1.2.4Y a-t-il de nouvelles versions de prévu ?

Oui, la version 6.0 est en construction. Elle doit permettre de nettoyer le code du logiciel et de supprimer des bugs rapportés par les utilisateurs. Cette version comportera des améliorations majeures, notamment au niveau de l'interface.

1.2.5Qui développe Maxima

?Une équipe de développeurs bénévoles travaille sur le code de Maxima. Ils communiquent entre eux grâce à Internet. Un site CVS dédié permet de faire les mises à jour du code. Les utilisateurs communiquent les bugs trouvés qui sont éradiqués.

1.3Les interfaces graphiques à Maxima

Maxima est le moteur de calcul, programmé en Lisp. On peut se connecter au logiciel par le biais de différents logiciels, qui fournissent ou non une interface graphique. Dans ce cas, Maxima est le serveur, et l'interface est le client. Parmi les interfaces existantes, les suivantes sont les plus performantes :

1.3.1L'interface xmaxima (tcl)

C'est l'interface graphique qui est livrée avec le programme. Ancienne et un peu sommaire, son remplacement est à l'étude.

1.3.2WxMaxima

Interface moderne et fonctionnelle, qui permet d'entrer une grande partie des commandes de Maxima à l'aide d'icônes. Ses fonctionnalités d'édition et sa simplicité en font un logiciel idéal pour utiliser Maxima. Elle fonctionne sous toutes les plate-formes. Le site de référence est :

1.3.3Texmacs

Texmacs est un traitement de textes scientifiques, qui permet d'entrer directement des commandes Maxima. Son intérêt est de produire des documents d'une qualité remarquable. Par contre, toutes les commandes Maxima doivent être entrées au clavier. Le site de référence :

1.3.4Imaxima

Imaxima est une extension pour le traitement de textes Emacs qui permet d'envoyer et de recevoir des commandes Maxima dans un buffer. Le site de référence :

2Calcul numérique

2.1Comment trouver une valeur approchée d'un nombre ?

La commande ev(x,numer) renvoie une valeur approchée de x.

2.2Comment résoudre numériquement une équation ?

Pour déterminer des valeurs approchées d'une ou des racines d'une équation, on commence par localiser grossièrement cette racine, par exemple avec un graphique. Par exemple, on s'aperçoit que l'équation cos(x) - x = 0 a une solution appartenant à l'intervalle [0,1]. Dans ce cas, on dispose des commandes Maxima suivantes :

Dans un premier temps, il vaut mieux utiliser la commande interpolate. Lorsqu'elle échoue, on peut utiliser la commande NEWTON. Il faut dans ce cas charger le package Newton. On fera attention au fait que Maxima est alors sensible à la casse, et qu'il faut bien respecter les majuscules dans cette commande. La syntaxe de la commande NEWTON est :

2.3Comment trouver les solutions positives d'une équation

Solution proposée par Monsieur Rodriguez sur la liste maxima : Il définit une fonction positive, qui renvoie les éléments d'une liste dont le membre de droite est positif. Cette fonction agit uniquement sur la liste renvoyée par la commande de résolution d'une équation.

2.4La fonction partie entière

La partie entière d'un réel x est donnée par ENTIER(x) :

2.5La fonction valeur absolue

La valeur absolue d'un réel x est donnée par ABS(x) :

Comme on le voit, on peut imposer une condition sur x pour permettre à Maxima de déterminer la valeur absolue d'une expression.

2.6Majorer une somme par la somme des valeurs absolues

Soit X = a + b - c. Pour majorer X par |a| + |b| + |c|, on écrit :

2.7Simplifier des expressions comportant des racines carrées

2.7.1En utilisant le package sqdnst

Le package sqdnst permet certaines simplifications :

2.7.2avec la commande ratsimp

Par défaut, la commande ratsimp de Maxima ne simplifie pas les expressions contenant des racines carrées. Mettre l'option algebraic à true permet d'imposer les simplifications :

2.8Comment trouver le maximum d'une liste

Il suffit d'appliquer la commande max à une liste grâce à la fonction apply :

2.9Comment calculer des lignes trigonométriques

Par défaut, Maxima connait la valeur de quelques lignes trigonométriques. Le package ntrig permet d'obtenir des résultats supplémentaires :

3Arithmétique

3.1Quotient et diviseur

La commande divide(m,n) renvoie le diviseur et le reste de la division de l'entier m par n. Cette commande fonctionne également avec les polynômes.

3.2Comment obtenir le reste d'une division

La commande mod(a,b) renvoie le reste de la division de a par b :

3.3Comment changer de base

La base de départ est définie par le paramètre ibase, celle d'arrivée par le paramètre obase. Il suffit d'affecter les valeurs désirées à ces deux paramètres pour que Maxima effectue les changements de base attendus :

Il semble qu'un bug empêche de convertir un nombre écrit en base b>10 en un nombre écrit en base 10.

4Calcul algébrique

4.1Comment résoudre une inéquation

?La version 5.9 de Maxima ( et antérieures ) ne sait pas résoudre les inéquations. Il est à souhaiter que cette fonctionnalité soit implémentée dans les futures versions, notamment la version 6.0.

4.2Comment décomposer une fraction en éléments simples ?

On utilise la commande partfrac(expression, variable) :

4.3Comment simplifier une somme de logarithmes

On emploie la fonction logcontract(expression) :

4.4Comment ordonner les termes d'un polynôme

On utilise la commande declare(x,mainvar), qui déclare x comme variable principale. Dans ce cas, le polynôme s'ordonnera selon les puissances de x. Par exemple :

Autre solution proposée par Richard Fateman, l'utilisation de la commande ratexpand(polynôme,variable) qui développe en respectant la variable x :

Le package expandwrt peut aussi contribuer à ordonner les termes d'un polynôme :

4.5Comment obtenir le coefficient du terme d'un polynome

La commande ratcoeff(polynome,xⁿ) donne le coefficient du terme en xⁿ :

4.6Comment générer un polynome à partir des coefficients

4.7Linéariser un polynome trigonométrique

La fonction trigrat(expression) permet de transformer de linéariser :

4.8Transformer avec la forme exponentielle

Pour exprimer une fonction trigonométrique ou trigométrique réciproque à l'aide de la fonction inverse, il faut utiliser la commande exponentialize :

4.9Comment obtenir un développement en série

La commande taylor(fonction,variable,point,ordre) donne la partie principale du développement en série de Taylor d'une fonction :

4.10Comment éliminer une racine carrée d'un dénominateur

On peut utiliser la commande ratsimp(expression), à condition de positionner l'option algebraic à true :

4.11Substituer à une variable une valeur

La fonction subst(valeur,variable,expression) remplace dans expression la variable par valeur.

4.12Substituer complètement à une variable une expression

Lorsque l'on désire remplacer une variable par une autre (en éliminant la première variable), il faut utiliser à la place de subst la commande ratsubst :

4.13Substituer complètement et simplifier une expression

Si a est tel que a² = 1 + a, on veut simplifier l'expression X = (a + 1)⁵. Pour cela, la commande fullratsubst(expression), du package lrats, est à utiliser :

4.14Manipuler une équation

Les opérations élémentaires (somme, multiplication) s'appliquent à chacun des membres d'une équation donnée. Ce comportement ne fonctionne pas si l'on utilise une fonction :

5Nombres complexes

5.1Définition d'un nombre complexe

Le complexe z = a + i b se définit avec Maxima par z:a+%I*b;

5.2Module d'un nombre complexe

La fonction cabs(nombre complexe) renvoie le module :

5.3Argument d'un nombre complexe

La fonction carg(nombre complexe) renvoie un argument :

5.4Forme algébrique d'un nombre complexe

La commande rectform(z) renvoie la forme algébrique de z :

5.5Forme exponentielle

La commande polarform(z) renvoie la forme exponentielle de z :

5.6Formules d'Euler

La fonction exponentialize[nombre complexe] permet l'application des formules d'Euler sur un nombre complexe :

5.7Transformer une exponentielle complexe

Pour transformer une exponentielle complexe en nombre complexe, on utilise la fonction Demoivre :

6Analyse

6.1Comment calculer une limite ?

La fonction limit(expression,variable,point,direction) répond à cette question. La direction (facultative) est donnée par plus pour la limite par valeur supérieure, et minus pour la limite par valeur inférieure :

La fonction tlimit effectue aussi le calcul d'une limite, mais en utilisant les développements en série de Taylor. Cela peut quelquefois donner une solution que la fonction limit est incapable de trouver :

6.2Comment calculer une dérivée d'ordre n ?

La commande diff(f(x),x,n) renvoie l'expression de la dérivée n-ième de la fonction f par rapport à la variable x.

6.3Calcul d'intégrales

6.3.1Comment intégrer par parties ?

Le code suivant permet d'effectuer une intégration par parties. u est la fonction à intégrer, et v est la fonction à différentier :

6.3.2Un package pour l'intégration par parties

Le package bypart permet d'effectuer une intégration par parties sans bornes définies. On dispose alors de la fonction byparts(intégrande,variable,u,dv) :

6.4Intégrer numériquement avec la méthode de Romberg

La commande romberg(fonction, variable, borne inférieure, borne supérieure) est à utiliser dans ce cas :

6.5La fonction dilogarithme

Il s'agit de la fonction définie par x ⟼∫

7Statistiques

7.1Comment étudier des séries statistiques

Le package descriptive.mac permet l'étude des séries statistiques. Il se télécharge à l'adresse

8Algèbre linéaire

8.1Vecteurs

8.1.1Comment noter un vecteur

On définit un vecteur par ses coordonnées que l'on note entre deux crochets. Par exemple, la commande u:[a,b,c]; définit le vecteur u^&vect; de coordonnées (a,b,c).

8.1.2Comment calculer un produit scalaire

Le produit scalaire se note avec un point, précédé et suivi d'un espace :

8.1.3Comment calculer un produit vectoriel

Il faut charger le package vect par la commande load("vect"); Ensuite, le produit vectoriel se note ~, et le calcul effectif du produit vectoriel s'effectue par la commande express(vecteur);

8.2Matrices

8.2.1Comment écrire une matrice

On définit une matrice A par la commande A:matrix([1,2,3],[-1,5,2],[4,3,0]);

8.2.2Comment extraire une ligne d'une matrice

On entre la matrice et entre crochets le numéro de la ligne désirée.

8.2.3Comment extraire une colonne d'une matrice

La fonction col(matrice,numéro de colonne) renvoie la colonne désirée :

8.2.4Comment transposer une matrice

La fonction transpose(matrice) effectue cette opération.

8.2.5La fonction echelon

Elle renvoie une matrice triangulaire supérieure obtenue avec des combinaisons élémentaires de lignes et de colonnes, avec des éléments diagonaux égaux à 1.

8.2.6Transformer une matrice en vecteur

Soit la matrice A = (

8.2.7Comment générer automatiquement une matrice

On définit une suite double, par exemple f[i,i], qui va générer les coefficients. On termine avec la fonction genmatrix(suite utilisée,nombre de lignes, nombre de colonnes) :

On peut utiliser cette possibilité pour écrire une matrice sous forme générale :

8.2.8Comment multiplier deux matrices

La multiplication des matrices se note avec le point (.), et non pas avec l'étoile (*) :

8.2.9Comment inverser une matrice

La matrice inverse de A se note A^^(-1) :

8.2.10Comment calculer une puissance de matrices

La matrice Aⁿ se note A^^n :

8.3Comment résoudre une récurrence linéaire

Le package solve_rec permet dans certains cas d'exprimer, dans le cas d'une suite récurrente linéaire, le terme d'ordre n en fonction de n. Pour cela, on dispose de la fonction solve_rec(définition suite récurrence,suite,valeur d'un terme) :

9Graphisme

9.1Courbes planes cartésiennes

9.1.1Représenter une fonction en escalier

Maxima renvoie un message d'erreur si l'on essaye de représenter une fonction en escalier. Pour y arriver, il faut utiliser une évaluation différée. Par exemple, représentons la fonction f définie sur R par f(x) = - 1 si x<0 et f(x) = 1 si x⩾0 :

9.1.2Représenter la fonction partie entière

9.1.3Représenter une famille de fonctions

Pour représenter la famille de fonctions x→cos (n x), pour n variant de 1 à 3, on entre la commande :

9.2Comment représenter un cercle

Pour tracer le cercle d'équation x² + y² = 1, on utilise la représentation paramétrique x = cos(t) et y = sin(t) :

9.3Courbes planes polaires

9.3.1Comment tracer une courbe en polaire

Cette solution est proposée par Stavros Macrakis : on entre le programme suivant :

Le tracé de la courbe d'équation ρ = 1 sur [0,π] s'obtient par :

Le tracé d'une cardioide s'obtient par :

9.4Courbes planes paramétriques

9.4.1Comment tracer une courbe en paramétrique ?

Le tracé d'une courbe définie par un système d'équations paramétriques n'a pas été prévu dans le code de Maxima. Cependant, le docteur Schelter a implémenté dans les dernières versions de Maxima une fonction remplissant ce rôle. Le code suivant ne fonctionne donc qu'avec la version 5.9. Dans ce cas, voici des exemples :

(C1) plot2d([parametric,cos(t),sin(t),[t,-%pi*2,%pi*2]]);

(C2) plot2d([parametric,cos(t),sin(t),[t,-%pi*2,%pi*2], [nticks,8]]);

(C3) plot2d([x^3+2,[parametric,cos(t),sin(t),[t,-5,5]]], [x,-3,3]);

Function: PLOT2D (expr,range,...,options,..)

Function: PLOT2D ([expr1,expr2,..,exprn],xrange,...,options,..)

Function: PLOT2D (parametric_expr)

Function: PLOT2D ([..,expr,..,parametric_expr,..],xrange,...,options)

donnent les différentes possibilités de tracer des courbes en paramétrique.

10Entrées et sorties

10.1Variables réservées

10.1.1Variables réservées à Maxima

Les noms de variable C1, D1, C2, D2, .... sont réservées à Maxima. Elles désignent les entrées (Ci) et les sorties (Di). Par exemple (merci à Stavros Macrakis) :

Attention : à compter de la version 5.9.2, la numérotation des entrées/sorties a été modifiée. L'entrée d'une commande est notée %in, où n est un entier qui s'incrémente d'une unité après chaque commande, tandis que les sorties se numérotent %on. Les variables c et d sont donc libres dorénavant.

10.1.2Comment noter plus l'infini ?

Maxima utilise la variable réservée inf :

10.1.3Comment noter moins l'infini ?

Maxima utilise la variable réservée minf :

10.2Effacer la valeur d'une variable

La commande kill(variable) efface la définition précédemment entrée :

10.3Fonctions usuelles

10.3.1Comment écrire la fonction logarithme népérien

Elle se note log sous Maxima :

10.3.2Comment définir la fonction logarithme décimal

10.3.3Comment définir une fonction dérivée

On veut définir la fonction dérivée d'une fonction f, pour pouvoir la réutiliser :

10.4Comment transformer une expression en fonction

Si on a définit une expression expr, on peut définir une fonction à l'aide de la commande f(x):=”(expr); On utilise deux fois la simple quote. Une autre syntaxe possible est define('f(x),expr); Par exemple :

10.5Définir une fonction formellement

Il est possible de définir une fonction f en précisant uniquement la variable dont elle dépend. Cela permet d'effectuer notamment du calcul différentiel dans le cas général. La commande à utiliser est dans ce cas depends(fonction, variable) :

10.6Comment récupérer un élément d'une liste

Les commandes first(liste), second(liste), third(liste) renvoient respectivement les premier, deuxième et troisième élément de la liste nommée liste. Par exemple :

10.7Comment additionner les éléments d'une liste

10.8Comment simplifier une expression trigonométrique

On peut utiliser la fonction trigsimp(expression) :

La fonction is(equal(expression1,expression2) renvoie vrai ou faux :

Attention, cette fonction n'est pas très sûre et semble renvoyer un résultat faux sur certains tests :

10.10Comment déclarer qu'un nombre est entier

La commande declare(n,integer) le réalise facilement.

10.11Comment déclarer qu'un nombre est positif

La commande assume(x>0) permet à Maxima de savoir que le réel x est positif. Le renseignement sera utilisé dans les calculs :

10.12Comment savoir si une expression contient une variable

La commande freeof(x,expression) renvoie true si expression contient x, et false dans le cas contraire.

Attention, la commande n'est pas récursive, et donc le résultat renvoyé est faux si l'expression a été définie précédemment :

10.13Isoler une sous-expression

La commande pickapart(expression, profondeur) isole les sous-expressions d'une expression donnée. Par exemple :

10.14Comment exporter en tex

La commande tex(expression) renvoie l'expresssion codée en tex :

10.15Comment choisir un fichier d'exportation

On dispose d'un fichier dont le nom est contenu dans une variable. Pour l'utiliser avec la commande tex, on utilise les syntaxes suivantes :

Dans le premier cas, un fichier test.tex est créé dans le répertoire courant, tandis que dans le deuxième cas le fichier test.tex est situé dans le dossier /home/michel/temp/.

10.16Comment charger des commandes au lancement de maxima

Il suffit de les mettre dans le fichier :

qui est lu automatiquement au démarrage de maxima. On peut aussi rajouter des fonctions lisp personnalisées dans le fichier :

10.17Comment utiliser une fonction comme argument

Voici les codes proposés par Barton Willis pour le calcul de :

où f est une fonction donnée et n un entier. Les tests se font avec la fonction identité puis la fonction carrée.

10.18Comment composer n fois une fonction

On définit une procédure qui permet de composer n fois une fonction (astuce de Stavros Macrakis) :

10.19Comment collecter des termes d'une expression

On veut exprimer un polynôme de plusieurs variables en fonction des puissances de l'une d'entre elles (astuce de Barton Willis) :

10.20Exporter en Latex

Par défaut, Maxima dispose d'une fonction pour générer du TeX. Pour obtenir du Latex, il suffit d'utiliser le package mactex-utilities :

10.21Firewall et port sous Windows XP

Sous Windows XP, Maxima communique avec le moteur de calcul formel par le port 4040. Il faut donc ouvrir ce port en cas d'utilisation d'un firewall pour que Maxima puisse fonctionner.